Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Noten zu einer Vorlesung / Lineare Algebra und Analytische Geometrie II - Noten zu einer Vorlesung mit historischen Anmerkungen von Erhard Scholz
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Die Jordanzerlegung in halbeinfachen und nilpotenten Anteil lieferte uns die charakteristische Abbildung n M{n x n,K) ~ K , x die jeder Matrix A die Koeffizienten (a , ... ,a ) des charakteristischen 1 n Polynoms von A zuordnet. Mit Hilfe dieser Abbildung hatten wir das Klassi­ fikationsproblem in zwei Teilprobleme A und B aufgespalten. Problem A Hier bestand das Problem in der Klassifikation der halbeinfachen Matrizen bis auf Konjugation. Das Hauptresultat war der Satz 11.45*. Die Konjugations­ klassen h, Die Jordanzerlegung in halbeinfachen und nilpotenten Anteil lieferte uns die charakteristische Abbildung n M{n x n,K) ~ K , x die jeder Matrix A die Koeffizienten (a , ... ,a ) des charakteristischen 1 n Polynoms von A zuordnet. Mit Hilfe dieser Abbildung hatten wir das Klassi­ fikationsproblem in zwei Teilprobleme A und B aufgespalten. Problem A Hier bestand das Problem in der Klassifikation der halbeinfachen Matrizen bis auf Konjugation. Das Hauptresultat war der Satz 11.45*. Die Konjugations­ klassen halbeinfacher Matrizen entsprechen bijektiv den Punkten des affinen Raumes ~. Eine Einteilung der halbeinfachen Konjugationsklassen in Typen ergibt sich in naturlicher Weise durch die algebraischen Multiplizitaten der Eigenwerte Ai . Dabei entsprechen die regularen Elemente, d.h. die­ n jenigen mit m = 1 , gerade den Punkten von K 1m Komplement der Disk- i n minantenmenge D cK , und den verschiedenen Typen von singul4ren Elementen entsprechen, wie wir an Beispielen gesehen haben, verschiedene Strata (d.h. Schichten) von D, welche man analytisch-geometrisch charakterisieren kann. 1m Fall K = Roder K = ~ sehen wir also, daB die Konjugationsklassen der halbeinfachen Anteile eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit bilden, namlich einen affinen Raum Kn, und daB die weitere Typeneinteilung dieser Konju­ gationsklassen mit der analytischen Geometrie der Diskriminantenmengen n D c. K zusammenhangt.

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Gebraucht - Gut - Die Jordanzerlegung in halbeinfachen und nilpotenten Anteil lieferte uns die charakteristische Abbildung n Mn x n,K) K , x die jeder Matrix A die Koeffizienten (a , ... ,a ) des charakteristischen 1 n Polynoms von A zuordnet. Mit Hilfe dieser Abbildung hatten wir das Klassi fikationsproblem in zwei Teilprobleme A und B aufgespalten. Problem A Hier bestand das Problem in der Klassifikation der halbeinfachen Matrizen bis auf Konjugation. Das Hauptresultat war der Satz 11.45*. Die Konjugations klassen halbeinfacher Matrizen entsprechen bijektiv den Punkten des affinen Raumes . Eine Einteilung der halbeinfachen Konjugationsklassen in Typen ergibt sich in naturlicher Weise durch die algebraischen Multiplizitaten der Eigenwerte Ai . Dabei entsprechen die regularen Elemente, d.h. die n jenigen mit m = 1 , gerade den Punkten von K 1m Komplement der Disk- i n minantenmenge D cK , und den verschiedenen Typen von singul4ren Elementen entsprechen, wie wir an Beispielen gesehen haben, verschiedene Strata (d.h. Schichten) von D, welche man analytisch-geometrisch charakterisieren kann. 1m Fall K = Roder K = sehen wir also, daB die Konjugationsklassen der halbeinfachen Anteile eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit bilden, namlich einen affinen Raum Kn, und daB die weitere Typeneinteilung dieser Konju gationsklassen mit der analytischen Geometrie der Diskriminantenmengen n D c. K zusammenhangt. Gebundene Ausgabe, leichte Gebrauchsspuren, 1161g.

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Noten zu einer Vorlesung. Mit histor. Anm. v. Erhard Scholz, Inhalt: Normalformen: Überblick über die Klassifikation - Die Klassifikation nilpotenter Endomorphismen - Eigenwerte, Eigenräume, Jordan-Zerlegung - Die Jordan-Normalform - Elementarteiler - Die Klassifikation bis auf Konjugation - 1. Beispiel: GL (2,IR) - 2. Beispiel: GL (3,IR) - Anhang: Die schwingende Saite - Historische Bemerkungen zur Untersuchung der Struktur linearer Transformationen/ Vektorräume mit Hermiteschen Formen und ihre Endomorphismen: Sesquilinearformen - Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen- Orthogonalisierung - Isotropie - Klassifikation hermitescher und antihermitescher Formen - Euklidische und unitäre Vektorräume - Die Klassischen Gruppen - Bemerkungen zur Geschichte der Geometrie der klassischen Gruppen. gebundene Ausgabe, 01.01.1985.

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Noten zu einer Vorlesung. Mit histor. Anm. v. Erhard Scholz, Inhalt: Normalformen: Überblick über die Klassifikation - Die Klassifikation nilpotenter Endomorphismen - Eigenwerte, Eigenräume, Jordan-Zerlegung - Die Jordan-Normalform - Elementarteiler - Die Klassifikation bis auf Konjugation - 1. Beispiel: GL (2,IR) - 2. Beispiel: GL (3,IR) - Anhang: Die schwingende Saite - Historische Bemerkungen zur Untersuchung der Struktur linearer Transformationen/ Vektorräume mit Hermiteschen Formen und ihre Endomorphismen: Sesquilinearformen - Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen- Orthogonalisierung - Isotropie - Klassifikation hermitescher und antihermitescher Formen - Euklidische und unitäre Vektorräume - Die Klassischen Gruppen - Bemerkungen zur Geschichte der Geometrie der klassischen Gruppen.

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